The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *(@x, div(@x, @y)))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
#eq, eratos, eratos#1, filter, filter#1, #add, #natdiv, #natmult, #natsub

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1
#add < #natmult
#natsub < #natdiv

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
#eq, eratos, eratos#1, filter, filter#1, #add, #natdiv, #natmult, #natsub

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1
#add < #natmult
#natsub < #natdiv

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Induction Base:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, 0)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0)) →_R^Ω(0)
#false

Induction Step:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, +(n5_4, 1))), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(n5_4, 1))) →_R^Ω(0)
#and(#eq(nil, nil), #eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4))) →_R^Ω(0)
#and(#true, #eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4))) →_IH
#and(#true, #false) →_R^Ω(0)
#false

We have rt ∈ Ω(1) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n⁰).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
#add, eratos, eratos#1, filter, filter#1, #natdiv, #natmult, #natsub

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1
#add < #natmult
#natsub < #natdiv

(10) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol #add.

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
#natmult, eratos, eratos#1, filter, filter#1, #natdiv, #natsub

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1
#natsub < #natdiv

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol #natmult.

(13) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
#natsub, eratos, eratos#1, filter, filter#1, #natdiv

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1
#natsub < #natdiv

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol #natsub.

(15) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
#natdiv, eratos, eratos#1, filter, filter#1

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol #natdiv.

(17) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
filter#1, eratos, eratos#1, filter

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)

Induction Base:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, 0)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b))

Induction Step:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, +(n6575021_4, 1))), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) →_R^Ω(1)
filter#2(filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4))), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), nil) →_R^Ω(1)
filter#2(filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), nil) →_IH
filter#2(*4_4, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
filter, eratos, eratos#1

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Induction Base:
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0))

Induction Step:
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(n8693630_4, 1))) →_R^Ω(1)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(n8693630_4, 1)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a)) →_R^Ω(1)
filter#2(filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), nil) →_IH
filter#2(*4_4, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(22) Complex Obligation (BEST)

(23) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
filter#1, eratos, eratos#1

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1
filter < eratos#1
filter = filter#1

(24) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)

Induction Base:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, 0)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b))

Induction Step:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, +(n10757229_4, 1))), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) →_R^Ω(1)
filter#2(filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4))), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), nil) →_R^Ω(1)
filter#2(filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), nil) →_IH
filter#2(*4_4, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b), nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(25) Complex Obligation (BEST)

(26) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
eratos#1, eratos

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1

(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol eratos#1.

(28) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
eratos

They will be analysed ascendingly in the following order:
eratos = eratos#1

(29) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol eratos.

(30) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)

(32) BOUNDS(n^1, INF)

(33) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n10757229_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n10757229₄)

(35) BOUNDS(n^1, INF)

(36) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)
filter(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(a), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n8693630_4)) → *4_4, rt ∈ Ω(n8693630₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)

(38) BOUNDS(n^1, INF)

(39) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(40) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
filter#1(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n6575021_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(b)) → *4_4, rt ∈ Ω(n6575021₄)

(41) BOUNDS(n^1, INF)

(42) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
#equal(@x, @y) → #eq(@x, @y)
*'(@x, @y) → #mult(@x, @y)
-(@x, @y) → #sub(@x, @y)
div(@x, @y) → #div(@x, @y)
eratos(@l) → eratos#1(@l)
eratos#1(::(@x, @xs)) → ::(@x, eratos(filter(@x, @xs)))
eratos#1(nil) → nil
filter(@p, @l) → filter#1(@l, @p)
filter#1(::(@x, @xs), @p) → filter#2(filter(@p, @xs), @p, @x)
filter#1(nil, @p) → nil
filter#2(@xs', @p, @x) → filter#3(#equal(mod(@x, @p), #0), @x, @xs')
filter#3(#false, @x, @xs') → ::(@x, @xs')
filter#3(#true, @x, @xs') → @xs'
mod(@x, @y) → -(@x, *'(@x, div(@x, @y)))
#add(#0, @y) → @y
#add(#neg(#s(#0)), @y) → #pred(@y)
#add(#neg(#s(#s(@x))), @y) → #pred(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#add(#pos(#s(#0)), @y) → #succ(@y)
#add(#pos(#s(#s(@x))), @y) → #succ(#add(#pos(#s(@x)), @y))
#and(#false, #false) → #false
#and(#false, #true) → #false
#and(#true, #false) → #false
#and(#true, #true) → #true
#div(#0, #0) → #divByZero
#div(#0, #neg(@y)) → #0
#div(#0, #pos(@y)) → #0
#div(#neg(@x), #0) → #divByZero
#div(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#div(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #0) → #divByZero
#div(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natdiv(@x, @y))
#div(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natdiv(@x, @y))
#eq(#0, #0) → #true
#eq(#0, #neg(@y)) → #false
#eq(#0, #pos(@y)) → #false
#eq(#0, #s(@y)) → #false
#eq(#neg(@x), #0) → #false
#eq(#neg(@x), #neg(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#neg(@x), #pos(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #0) → #false
#eq(#pos(@x), #neg(@y)) → #false
#eq(#pos(@x), #pos(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(#s(@x), #0) → #false
#eq(#s(@x), #s(@y)) → #eq(@x, @y)
#eq(::(@x_1, @x_2), ::(@y_1, @y_2)) → #and(#eq(@x_1, @y_1), #eq(@x_2, @y_2))
#eq(::(@x_1, @x_2), nil) → #false
#eq(nil, ::(@y_1, @y_2)) → #false
#eq(nil, nil) → #true
#mult(#0, #0) → #0
#mult(#0, #neg(@y)) → #0
#mult(#0, #pos(@y)) → #0
#mult(#neg(@x), #0) → #0
#mult(#neg(@x), #neg(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#mult(#neg(@x), #pos(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #0) → #0
#mult(#pos(@x), #neg(@y)) → #neg(#natmult(@x, @y))
#mult(#pos(@x), #pos(@y)) → #pos(#natmult(@x, @y))
#natdiv(#0, #0) → #divByZero
#natdiv(#s(@x), #s(@y)) → #s(#natdiv(#natsub(@x, @y), #s(@y)))
#natmult(#0, @y) → #0
#natmult(#s(@x), @y) → #add(#pos(@y), #natmult(@x, @y))
#natsub(@x, #0) → @x
#natsub(#s(@x), #s(@y)) → #natsub(@x, @y)
#pred(#0) → #neg(#s(#0))
#pred(#neg(#s(@x))) → #neg(#s(#s(@x)))
#pred(#pos(#s(#0))) → #0
#pred(#pos(#s(#s(@x)))) → #pos(#s(@x))
#sub(@x, #0) → @x
#sub(@x, #neg(@y)) → #add(@x, #pos(@y))
#sub(@x, #pos(@y)) → #add(@x, #neg(@y))
#succ(#0) → #pos(#s(#0))
#succ(#neg(#s(#0))) → #0
#succ(#neg(#s(#s(@x)))) → #neg(#s(@x))
#succ(#pos(#s(@x))) → #pos(#s(#s(@x)))

Types:
#equal :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
#eq :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → #false:#true
*' :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#mult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
- :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#sub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#div :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
eratos#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
:: :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
nil :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#1 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#2 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
filter#3 :: #false:#true → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
mod :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#0 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#false :: #false:#true
#true :: #false:#true
#add :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#neg :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#s :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pred :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#pos :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#succ :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#and :: #false:#true → #false:#true → #false:#true
#divByZero :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natdiv :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natmult :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
#natsub :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
hole_#false:#true1_4 :: #false:#true
hole_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero2_4 :: :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4 :: Nat → :::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero

Lemmas:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

Generator Equations:
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(0) ⇔ nil
gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(x, 1)) ⇔ ::(nil, gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(43) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(1) was proven with the following lemma:
#eq(gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(+(1, n5_4)), gen_:::nil:#0:#s:#neg:#pos:#divByZero3_4(n5_4)) → #false, rt ∈ Ω(0)

(44) BOUNDS(1, INF)